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Knue.2012
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프랙탈(Fractal)이란?

위의 그림처럼 프랙탈은 자기 자신과 닮은 모양이 끝없이 되풀이되는 구조를 의미합니다.

쉽게 자기닮음도형이라고 생각하시면 되겠죠. 즉, 커다란 구조를 작게봐도 똑같은 구조를 가지는 형태이지요.


프랙탈이란 말은....

프랙탈(fractal)이라는 말은 1975년 IBM의 Thomas J. Watson연구센터에 근무했던 프랑스 수학자 만델브로트박사가 ‘쪼개다’라는
뜻을 가진 그리스어‘프랙투스(fractus)'에서 따와 처음 만들었다고 합니다.

그럼 함께 프랙탈에 대해서 더 알아볼까요?

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삼각형 프랙탈

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삼각형 프랙탈을 알아봅시다.

1. 임의의 정삼각형에서 시작합니다.

2. 주어진 삼각형의 각 변의 중점을 꼭지점으로 하는 삼각형을 그립니다.(이렇게 되면 4개의 정삼각형으로 나누어집니다.)

3. 가운데 있는 정삼각형은 지웁니다.

4. 남아있는 3개의 정삼각형에서 위의 과정을 반복합니다.(그림보기로 확인해보세요)


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삼각형 프랙탈

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 ★삼각형 프랙탈 만들기(단계별 클릭)

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삼각형 프랙탈

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 ※ 다음 그림은 0~4단계의 시에르핀스키의 삼각형입니다.

해설보기
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1번 해설

정답은 2187개 입니다.


    0단계 = 1개
    1단계 = 3개
    2단계 = 9개(=3×3)
    3단계 = 27개(=3×3×3)
    4단계 = 81개(=3×3×3×3)이므로

∴ 7단계 = 3×3×3×3×3×3×3 = 2187(개)
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2번 해설

정답은 1/128 입니다.


    0단계 일 때 한변의 길이 = 1 이라고 하면,
    1단계 = 1/2
    2단계 = 1/4 (=1/2×2)
    3단계 = 1/8개(=1/2×2×2)
    4단계 = 1/16개(=1/2×2×2×2)이므로

∴ 7단계 = 1/2×2×2×2×2×2×2 = 1/128
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3번 해설

해설1, 2에서 알 수 있듯이

1. n단계일 때 색칠된 삼각형의 개수 = 3n
(또는 3을 n번 곱한 값)

2. n단계일 때 한 변의 길이 = 1 / 2n
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사각형 프랙탈

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사각형 프랙탈을 알아봅시다.

1. 임의의 정사각형에서 시작합니다.

2. 주어진 사각형을 9등분 합니다.

3. 가운데 있는 정사각형은 지웁니다.

4. 남아있는 8개의 정사각형에서 위의 과정을 반복합니다.(그림보기로 확인해보세요)


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사각형 프랙탈

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 ★ 사각형 프랙탈 만들기(단계별 클릭)

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사각형 프랙탈

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※단계별 버튼을 눌러 도형을 만들어보고 다음 도형도 프랙탈이 될 수 있는지, 그리고 그 이유가 무엇인지 생각해보세요.

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해설

프랙탈이 맞습니다 .

첫번째 정사각형을 제외하고 나머지 모양은 규칙성을 갖고 반복됩니다. 반복과 계속성이라는 프랙탈의 특성을 가지고 있으므로 프랙탈 구조라고 이야기 할 수 있습니다.

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프랙탈의 확장

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프랙탈의 확장

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생활속의 프랙탈

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자연에도 프랙탈이 있습니다.

나무는 큰 줄기에서 큰가지, 그리고 다시 작은 가지가 생기며, 뿌리도 큰뿌리에서 작은 뿌리로 나누어 집니다. 뿌리는 나무에 골고루 양분을 전해야 하는데 이러한 모양은 프랙탈 구조가 제격입니다.

눈의 결정체도 자기 닮음성을 가지고 있으며, 산, 해안선, 구름, 번개, 강줄기, 상추 잎, 뿐만아니라 인체에도 프랙탈의 구조가 녹아있습니다.

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'무한'이야기

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칸토어 먼지란?

하늘의 별이 얼마나 많은지, 바닷가의 모래알은 대체 몇개나 되는 것인지 궁금하지 않나요?
이러한 무한의 수를 셈하려 한 사람이 러시아의 수학자 칸토어(G.Cantor, 1845~1918) 입니다.

토어는 길이가 1인 선분을 하나 생각했습니다. 그리고 그것을 3등분하여 중간부분을 제거하고, 남은 선분에서 똑같이 중간 부분을 제거했습니다.
이와 같은 일을 계속 반복하여, 먼지와 같은 선분을 만들었는데 이것을 칸토어의 먼지라고 합니다.

그런데 여기서 '계속'이라는 것은 언제까지를 의미하는 것일까요?

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'무한'이야기

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무한(無限, infinity, ∞ )

은 한점(중심)으로 부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임입니다. 그렇다면 원위의 점의 개수를 셀 수 있을까요? 다만 우리의 눈에는 무수한 점들로 이루어진 하나의 원이 보이고 있을 뿐입니다.

  

에르핀스키의 삼각형을 무한의 단계까지 변화시켜 가면 어떤 일이 벌어질까요? 아마도 색칠된 부분은 0에 가까워지고, 삼각형들의 둘레의 합은 무한(∞)에 가까워질 것이라고 추측할 수 있습니다.

우리는 정확한 것(무한)을 유한한 것으로 표현할 때가 많이 있습니다. 왜냐하면 우리의 생각과 표현이 유한하기 때문입니다. 하지만 명심하십시요. 분명, 무한한 것이 때로는 정확한 것이고, 진리가 될 수 있다는 것을....

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